Question

求微分方程dy/dx-2xy=-x^3+x通解

Answer 1

这是一阶线性非齐次方程，可以利用公式求解：
y=e^(∫2xdx)[∫(-x³+x)e^(-∫2xdx)dx+C]
=e^(x²)[∫(-x³+x)e^(-x²)dx+C]
=e^(x²)[½∫(-x²+1)e^(-x²)d(x²)+C] ( 分部积分法)
=Ce^(x²)+½x²

追问

为什么∫(-x²+1)e^(-x²)d(x²)=x²

追答

我省略了分部积分过程，但并不是你写的结果
∫(-x²+1)e^(-x²)d(x²)=-∫(-x²+1)de^(-x²)
=-[(-x²+1)e^(-x²)-∫e^(-x²)d(-x²)]

=-(-x²+1)e^(-x²)+e^(-x²)
=x²e^(-x²)
所以
e^(x²)[½∫(-x²+1)e^(-x²)d(x²)+C]
=e^(x²)[½x²e^(-x²)+C]
=½x²+Ce^(x²)
现在看懂了吗？

追问

看懂了