Question

请教几道数学题

1.设f(x)的定义域为(0.+∞),对于任意正实数m,n恒有f(m·n)=f(m)+f(n),且当x＞1时，f(x)＞0,f(1/2)=-1.
(1)求f(2)的值。
（2)证明：f(x)在（0.+∞）上是增函数。
(3)解关于x的不等式f(x)≥2+f(p/(x-4)),其中p＞-1。

2.已知函数f(x)的图像过点（0，1），且与函数g(x)=2^(（x/2）-1)-a-1的图像关于直线y=x-1成轴对称图形。
问（1）求函数烦（x）的解析式及定义域。
（2）若三个正数m.n.t依次成等比数列，证明f(m)+f(t)≥2f(n)

Answer 1

1.
解：（1）对于任意的x>0,有，f(x)=f(x•1)=f(x)+f(1)====>f(1)=0
f(1)=f(2•(1/2))=f(2)+f(1/2),解得f(2)=f(1)-f(1/2)=1
(2)设x2>x1>0,由于x2>x1，所以不妨设x2=λx1,很显然λ>1,
f(x2)=f(λx1)=f(x1)+f(λ)，由于当x＞1时，f(x)＞0，所以f(λ)>0
所以f(x2)=f(x1)+f(λ)>f(x1)，
由于x1、x2任意指定的，所以f(x)在（0.+∞）上是增函数
(3) 由于f(x)的定义域为x>0，所以必须x>0,与p/(x-4)>0同时成立，下面开始分步讨论
I．p=0时，p/(x-4)=0，函数无定义，所以此种情况不存在
II.-1<p<0时，要使得p/(x-4)>0，所以x-4<0,也就是x<4,考虑到f(x)的增函数性质可知
x≥p/(x-4)，由于x-4<0，所以两边同时(x-4)时，不等式方向要变，所以
x(x-4) ≤ p，(x-2)²≤4+p, 解得2-√(4+p) ≤x≤2+√(4+p),结合x>0,x<4，可得集解为
[2-√(4+p),2+√(4+p)]
III.当p>0时，要使得p/(x-4)>0，所以x-4>0,也就是x>4,考虑到f(x)的增函数性质可知
x≥p/(x-4)，由于x-4>0，所以两边同时(x-4)时，不等式方向不变，所以
x(x-4) ≥p，(x-2)²≥4+p,x≥2+√(4+p),x≤2-√(4+p),
由于p>0,所以p+4>4, √(4+p)>2,2-√(4+p)<0,所以x x≤2-√(4+p)<0，不符合定义域
又由于2+√(4+p)>4，所以得到解集为x≥2+√(4+p)

2.
解：（1）(0,1)关于y=x-1的对称点为(2,-1)，所以(2,-1)在g(x)的图像上，带入得到
-1=1-a-1，解得a=1，所以g(x)=2)^((x/2)-1)-2
建立新的直角坐标系uov，与原直角坐标系满足下列下列关系：u=x-1,v=y，那么g(x)的图像在uov坐标系中方程转化为g(u)=2^[(u+1)/2-1]-2,yx-1的方程转化为v=u
由于g(u)与f(u)的图像关于v=u对称，所以f(u)是g(u)的反函数，由v=g(u)=2^[(u+1)/2-1]-2，可得：v+2=2^[(u+1)/2-1]，两边取对数，得到
(u+1)/2-1=log2(v+2)=====>u=1+2log2(v+2),所以f(u)=1+2log2(u+2)
根据坐标转换规则，可得，f(x-1)=1+2log2(x+1)=1+2log2[(x-1)+2]，也就是
f(x)=1+2log2(x+2),很显然定义域为x>-2
(2)根据等比数列特征可知nn=mt，
根据题意也就是证明log2(m+2)+log2(t+2)≥2log2(n+2)
根据对数运算法则得到:logm+log2t=log2(m+2)(t+2),2log2(n+2)=log2(n+2)^2
根据增函数性质，也就是证明(m+2)(t+2) ≥(n+2)^2
也就是证明mt+2m+2t+4≥n^2+4n+4，也就是证明m+t≥2n=2√mt，
也就是证明m+t-2√mt≥0
而m+t-2√mt=(√m-√t)^2≥0成立
所以f(m)+f(t)≥2f(n)成立

Answer 2

1、f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)=2f(1)
所以f(1)=0
f(1)=f(1/2*2)=f(1/2)+f(2)=0
所以f(2)=1
2、f(x)的原型是lgx,由此可知是增函数