三棱锥PABC是半径为3的球内接正三棱锥，求PABC体积最大值
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设正三棱锥的高为h，
则底面三角形所在的圆的半径r = √{3²-(3-h)²} = √(6h-h²)
底面积 V = 3×1/2×r²×sin120° = 3√3/4(6h-h²)
V = 1/3Sh = 1/3×3√3/4(6h-h²)×h = √3/4(6h²-h³)
V ′ = √3/4(12h-3h²) = (3√3/4)h(4-h)
当h=4时，体积有极大值Vmax= √3/4(6×4²-4³) = 8√3
则底面三角形所在的圆的半径r = √{3²-(3-h)²} = √(6h-h²)
底面积 V = 3×1/2×r²×sin120° = 3√3/4(6h-h²)
V = 1/3Sh = 1/3×3√3/4(6h-h²)×h = √3/4(6h²-h³)
V ′ = √3/4(12h-3h²) = (3√3/4)h(4-h)
当h=4时，体积有极大值Vmax= √3/4(6×4²-4³) = 8√3
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