Question

设§1,§2,....§m是齐次线性方程组AX=0的基础解系,求证§1+§2,§2,...§m也A

设§1,§2,....§m是齐次线性方程组AX=0的基础解系,求证§1+§2,§2,...§m也AX=0的基础解系
线性代数，求解





Answer 1

显然Aξ1=Aξ2=。。。=Aξm=0
因此A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2=0
从而ξ1+ξ2，ξ2，。。。，ξm是方程组的解。
下面只需证明该向量组线性无关，即可得证是基础解系。
用反证法，来证明：
假设线性相关，则存在不全为0的系数，使得
k1(ξ1+ξ2)+k2ξ2+...+kmξm=0
则
k1ξ1+(k1+k2)ξ2+k3ξ3+...+kmξm=0
因为ξ1，ξ2，。。。，ξm是基础解系，因此线性无关，则
k1=k1+k2=k3=。。。=km=0
解得，
k1=k2=k3=。。。=km=0
这与假设中不全为0，矛盾！
因此1+ξ2，ξ2，。。。，ξm线性无关
所以是方程组的基础解系。