Question

已知抛物线y=ax^2+bx+c(a＞0)与x轴的两个交点分别为A(-2，0)，B(4，0)

与y轴的交点为D，顶点为C(1)求该抛物线的对称轴(2)当点C变化，使得60°≤∠ACB≤120°时，求a的取值范围(3)作直线CD交x轴于点E，问：在y轴上是否存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：将A(-2，0)，B(4，0)值代入抛物线得：
4a-2b+c=0
16a+4b+c=0
解方程组得：b=-2a，c=-8a
（1），对称轴x=(-2+4)/2=1
（2），做CG⊥x轴，交x轴于G，
因为CG是抛物线的对称轴，则：︱BG︱=︱AB︱/2=︱4+2︱/2=3
C点是抛物线顶点，Cy=(4ac-b^2)/(4a)= [4a(-8a)-(-2a)^2]/(4a)=-9a
则：︱CG︱=︱-9a︱=9a（a＞0）
若60°≤∠ACB≤120°，由抛物线的对称性得：30°≤∠BCG≤60°
则：cot60°≤cot∠BCG≤cot30°
√3/3≤︱CG︱/︱BG︱≤√3
√3/3≤9a/3≤√3
即：√3/9≤a≤√3/3
（3）若△CEF是等腰直角三角形，则：∠CEF=45°，即直线CD的斜率k=-1
C(1，-9a)，D(0，c)=D(0，-8a)，k=(-9a+8a)/(1-0)=-a
即：当a=1时，
a，∠CFE=90°时，△CEF是等腰直角三角形；
b，∠FCE=90°时，△CEF是等腰直角三角形。
——
若没学过三角函数，可用解“锐角30度的直角三角形”的方法：
当∠BCG=30°时，︱CG︱=9a=√3︱BG︱=3√3，则：a=√3/3
当∠BCG=60°时，︱CG︱=9a=(√3/3)︱BG︱=√3，则：a=√3/9
当30°≤∠BCG≤60时，a的值在√3/9和√3/3之间变化
即：a的取值范围：√3/9≤a≤√3/3