Question

证明偏导数在某点连续的问题

若证明偏导数在原点是否连续的问题，是用f'x(0.0)和f'x(x,y)x,y趋于0还是f'x(x,0)x趋于0比较

Answer 1

某一点处连续，x=f（x,y)，在某个特殊点处是否连续，常见的是二元函数的分段点。

若要验证在某一点是否连续，首先用定义式求对x、y的偏导数，高数书上都有，我这没法打出来。

然后利用求导公式求偏导，这个就比较简单了。同样对x、y。

最后就是把这个特殊点带入用定义式所求的式子，以及求导公式所求的式子，看两边的值是否一样，一样就连续，否则不连续。

连续可以理解为函数为一条连续的不间断的光滑曲线。

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或。函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

Answer 2

若证明偏导数在原点连续的问题，
x,y趋于0时，limf'x(x,0)=f'x(0.0)
x,y趋于0时，limf'y(y,0)=f'x(0.0)

Answer 3

证明偏导数 f'x(x,y) 在原点是否连续，要用
lim(x→0,y→0)f'x(x,y) = f'x(0.0)
是否成立来判别。