Question

设2次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图像在y轴上的截距为1， 在x轴上截得的线段长2根号2，求f(x)表达式

待定系数法

Answer 1

设二次函数为f（x）=ax^2+bx+c

f(x-2)=f(-x-2)

则a（x-2）^2+b(x-2)+c=a(-x-2)^2+b(-x-2)+c

得4a-b=0.......1

图像在y轴上的截距为1，则c=1或-1

在x轴上截得的线段长2根号2，则 |x2-x1|=√[（x1+x2）^2-4x1x2]=2√2

x1+x2=-b/a，x1x2=c/a

所以b^2/a^2-4c/a=8.....2

c=1时，1式和2式组合，化简为16-4/a=8，得a=1/2，b=2

c=-1时，1式和2式组合，化简为16+4/a=8，得a=-1/2，b=-2

所以f（x）的表达式为f（x）=1/2x^2+2x+1
或
f（x）=-1/2x^2-2x-1