已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE 2 +BF 2 =EF 2
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2+BF2=EF2．...
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE 2 +BF 2 =EF 2 ．
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证明：过点A作AM ∥ BC，交FD延长线于点M，
连接EM．
∵AM ∥ BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，MD=DF．
又∵DE⊥DF，∴EF=EM．
∴AE 2 +BF 2 =AE 2 +AM 2 =EM 2 =EF 2 ．
连接EM．
∵AM ∥ BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，MD=DF．
又∵DE⊥DF，∴EF=EM．
∴AE 2 +BF 2 =AE 2 +AM 2 =EM 2 =EF 2 ．
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