Question

已知f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x 2 -4x+3，（Ⅰ）求f[f（-1）]的值； （Ⅱ

已知f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x 2 -4x+3，（Ⅰ）求f[f（-1）]的值； （Ⅱ）求函数f（x）的解析式； （Ⅲ）求函数f（x）在区间[t，t+1]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得：f（x）是定义在实数集R上的奇函数， 所以f（-1）=-f（1），并且f（0）=0． 又因为当x＞0时，f（x）=x 2 -4x+3， 所以f（1）=0， 所以f（-1）=0． 所以f[f（-1）]=f（0）=0…4′ （Ⅱ）设x＜0则-x＞0， 因为当x＞0时，f（x）=x 2 -4x+3， 所以f（-x）=x 2 +4x+3， 又因为f（x）是定义在实数集R上的奇函数， 所以f（x）=-x 2 -4x-3． 所以 f(x)= x 2 -4x+3(x＞0) 0(x=0) - x 2 -4x-3(x＜0) …4′ （Ⅲ）由题意可得：f（x）=x 2 -4x+3，x∈[t，t+1]， 所以二次函数的对称轴为x=2， 当t+1＜2，即0＜t≤1时，f（x）在[t，t+1]上单调递减， 所以f（x） min =f（t+1）=t 2 -2t． 当t＞2时，f（x）在[t，t+1]上单调递增， 所以f（x） min =f（t）=t 2 -4t+3． 当t≤2＜t+1时，即1＜t≤2时，f（x）在[t，t+1]上先减后增， 所以f（x） min =f（2）=-1． 所以 f(x ) min = t 2 -2t(0＜t≤1) -1(1＜t≤2) t 2 -4t+3(t＞2) …6′