Question

设函数f（x）=x 2 -2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，

设函数f（x）=x 2 -2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求实数a的取值范围．（3）若对任意的x 1 ，x 2 ∈[0，4]，都有|f（x 1 ）-f（x 2 ）|≤8，求t的取值范围．

Answer 1

因为f（x）=x 2 -2tx+2=（x-t） 2 +2-t 2 ， 所以f（x）在区间（-∞，t]上单调减，在区间[t，∞）上单调增，且对任意的x∈R，都有f（t+x）=f（t-x）， （1）若t=1，则f（x）=（x-1） 2 +1． ①当x∈[0，1]时．f（x）单调减，从而最大值f（0）=2，最小值f（1）=1． 所以f（x）的取值范围为[1，2]； ②当x∈[1，4]时．f（x）单调增，从而最大值f（4）=10，最小值f（1）=1． 所以f（x）的取值范围为[1，10]； 所以f（x）在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]．                     …（3分） （2）“对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5”等价于“在区间[a，a+2]上，[f（x）] max ≤5”． ①若t=1，则f（x）=（x-1） 2 +1， 所以f（x）在区间（-∞，1]上单调减，在区间[1，∞）上单调增． ②当1≤a+1，即a≥0时， 由[f（x）] max =f（a+2）=（a+1） 2 +1≤5，得-3≤a≤1， 从而 0≤a≤1． ③当1＞a+1，即a＜0时，由[f（x）] max =f（a）=（a-1） 2 +1≤5，得-1≤a≤3， 从而-1≤a＜0． 综上，a的取值范围为区间[-1，1]．                             …（6分） （3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m， 所以“对任意的x 1 ，x 2 ∈[0，4]，都有|f（x 1 ）-f（x 2 ）|≤8”等价于“M-m≤8”． ①当t≤0时，M=f（4）=18-8t，m=f（0）=2． 由M-m=18-8t-2=16-8t≤8，得t≥1． 从而 t∈?． ②当0＜t≤2时，M=f（4）=18-8t，m=f（t）=2-t 2 ． 由M-m=18-8t-（2-t 2 ）=t 2 -8t+16=（t-4） 2 ≤8，得 4-2 2 ≤t≤4+2 2 ． 从而  4-2 2 ≤t≤2． ③当2＜t≤4时，M=f（0）=2，m=f（t）=2-t 2 ． 由M-m=2-（2-t 2 ）=t 2 ≤8，得-2 2 ≤t≤2 2 ． 从而 2＜t≤2 2 ． ④当t＞4时，M=f（0）=2，m=f（4）=18-8t． 由M-m=2-（18-8t）=8t-16≤8，得t≤3． 从而 t∈?． 综上，t的取值范围为区间[4-2 2 ，2 2 ]．                      …（10分）