Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）． （1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当t= 时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似 （2）存在，当t= 时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是

解：如图， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm． ∴根据勾股定理，得 =5cm． （1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况： ①当△AMP∽△ABC时， ，即 ， 解得t= ； ②当△APM∽△ABC时， ，即 ， 解得t=0（不合题意，舍去）； 综上所述，当t= 时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似； （2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下： 假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值． 如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC， ∴ ，即 ， ∴PH= t， ∴S=S △ ABC -S △ BPH ， = ×3×4- ×（3-t）? t， = （t- ） 2 + （0＜t＜2.5）． ∵ ＞0， ∴S有最小值． 当t= 时，S 最小值 = ． 答：当t= 时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是 ．