Question

已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时， f(x)= 2 x 2 x +1 ．（1）

已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时， f(x)= 2 x 2 x +1 ．（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之．

Answer 1

（1）设-1＜x＜0，则0＜-x＜1， 故 f(-x)= 2 -x 2 -x +1 = 1 2 x +1 ， 又f（x）为奇函数，所以 f(x)=-f(-x)=- 1 2 x +1 ， 由于奇函数f（x）的定义域为（-1，1），所以f（0）=0， 所以，f（x）= 2 x 2 x +1 ，0＜x＜1 0，x=0 - 1 1+ 2 x ，-1＜x＜0 ． （2）f（x）在（0，1）上单调递增． 证明：任取x 1 ，x 2 ∈（0，1），且x 1 ＜x 2 ， 则 f( x 2 )-f( x 1 )= 2 x 2 1+ 2 x 2 - 2 x 1 1+ 2 x 1 = 2 x 2 - 2 x 1 (1+ 2 x 1 )(1+ 2 x 2 ) ， 因为y=2 x 在x∈R上递增，且0＜x 1 ＜x 2 ， 所以 2 x 2 - 2 x 1 ＞0 ， 因此f（x 2 ）-f（x 1 ）＞0，即f（x 2 ）＞f（x 1 ）， 故f（x）在（0，1）上单调递增．