已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），且f（x）有极值．（1）求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）的值
已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），且f（x）有极值．（1）求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）的值域；（3）函数g（x）=x3-x-2，证明：?x1∈（...
已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），且f（x）有极值．（1）求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）的值域；（3）函数g（x）=x3-x-2，证明：?x1∈（1，e），?x0∈（1，e），使得g（x0）=f（x1）成立．
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（1）由f（x）=ax+lnx求导可得：f′(x)＝a+
．（2分）
令f′(x)＝a+
=0，可得a＝?
∵x∈（1，e），∴?
∈(?1，?
)∴a∈(?1，?
)（3分）
又因为x∈（1，e）
所以，f（x）有极值所以，实数a的取值范围为(?1，?
)．（4分）
（2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为f(?
)＝?1+ln(?
)（6分）
又∵f（1）=a，f（e）=ae+1
由a≥ae+1，解得a≤
又∵?1＜
＜?
∴当?1＜a≤
时，
函数f（x）的值域为（ae+1，-1+ln（?
）]（8分）
当
＜a＜?
时，
函数f（x）的值域为（a，-1+ln（?
）]．（10分）
（3）证明：由g（x）=x3-x-2求导可得g'（x）=3x2-1（11分）
令g'（x）=3x2-1=0，解得x＝±
令g'（x）=3x2-1＞0，解得x＜?
或x＞
| 1 |
| x |
令f′(x)＝a+
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
∵x∈（1，e），∴?
| 1 |
| x |
| 1 |
| e |
| 1 |
| e |
又因为x∈（1，e）
所以，f（x）有极值所以，实数a的取值范围为(?1，?
| 1 |
| e |
（2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为f(?
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
又∵f（1）=a，f（e）=ae+1
由a≥ae+1，解得a≤
| 1 |
| 1?e |
| 1 |
| 1?e |
| 1 |
| e |
∴当?1＜a≤
| 1 |
| 1?e |
函数f（x）的值域为（ae+1，-1+ln（?
| 1 |
| a |
当
| 1 |
| 1?e |
| 1 |
| e |
函数f（x）的值域为（a，-1+ln（?
| 1 |
| a |
（3）证明：由g（x）=x3-x-2求导可得g'（x）=3x2-1（11分）
令g'（x）=3x2-1=0，解得x＝±
| ||
| 3 |
令g'（x）=3x2-1＞0，解得x＜?
| ||
| 3 |
|
