Question

对坐标的曲面积分 题如图所示

Answer 1

对坐标的曲面积分 题如图所示
∑不为封闭曲面
所以补充平面∑1：z=1 (x^2+y^2<=1,x>=0,y>=0)(取下侧）
∑2:x=0(取前侧)
∑3:y=0(取右侧)
∑+∑1+∑2+∑3:封闭曲面,取内侧
I总=（∑+∑1+∑2+∑3）∫∫xydzdx+zdxdy
高斯公式：
=-∫∫∫[0+x+1]dxdydz
=-∫∫∫(x+1)dxdydz
使用柱坐标:
则z的积分限（r^2，1）
r的积分限（0，1）
θ的积分限（0，π/2）
=-∫(0，π/2）dθ∫(0,1)rdr∫(r^2,1)(1+r*cosθ)dz
=-∫(0，π/2）dθ∫(0,1)[(r-r^3)(1+r*cosθ)]dr
=-∫(0，π/2）dθ∫(0,1)[(r-r^3)+(r^2-r^4)*cosθ]dr
=-∫(0，π/2）[0.5*r^2-(1/4)*r^4+((1/3)r^3-(1/5)r^5)cosθ]|(0,1)dθ
=-∫(0，π/2）[0.5*-(1/4)+((1/3)-(1/5))cosθ]dθ
=-∫(0，π/2）[1/4+(2/15)*cosθ]dθ
=-[θ/4+(2/15)*sinθ](0,π/2）
=-(π/8)-(2/15)
因为：I1=（∑1）∫∫xydzdx+zdxdy
=-∫∫（Dxy）1dxdy
=-π/4
I2=（∑2）∫∫xydzdx+zdxdy=0

I3=（∑3）∫∫xydzdx+zdxdy=0
所以：I=I总-I1-I2-I3=-(π/8)-(2/15)-(-π/4)-0-0=(π/8)-(2/15)