Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE，点P从点A出发，沿

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE，点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，到点B停止．点P在AD上以5cm/s的速度运动，在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm，（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．

Answer 1

（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=4cm，
∴AB=

AC2+BC2

=

82+42

=4

5

，
D为AB中点，∴AD=2

5

，
∴点P在AD段的运动时间为

2 5

5

=2s．
当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t-2）s，
∵DE段运动速度为1cm/s，
∴DP=（t-2）cm，
故答案为：t-2；
（2）当点N落在AB边上时，有两种情况，如下图所示：

①如图（2）a，此时点D与点N重合，P位于线段DE上．
由三角形中位线定理可知，DM=

1

2

BC=2，∴DP=DM=2．
由（1）知，DP=t-2，∴t-2=2，∴t=4；
②如图（2）b，此时点P位于线段EB上．
∵DE=

1

2

AC，AC=8cm，∴点P在DE段的运动时间为4s，
∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4．
∵PN∥AC，∴PN：PB=AC：BC=2，∴PN=2PB=16-2t．
由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=

20

3

，
所以，当点N落在AB边上时，t=4或t=

20

3

；
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况