Question

（2007?莱芜）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD．（1）求

（2007?莱芜）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD．（1）求证：AE=BD；（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=2CD．





Answer 1

证明：（1）∵△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED；
又∵∠ABC=∠CDE，
∴∠ABC=∠BAC=∠CDE=∠CED，（同弧上的圆周角相等）
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCD=∠ACE，
在△AEC和△BDC中，

AC＝BC ∠ACE＝∠BCD CE＝CD

∴△AEC≌△BDC（SAS），
∴AE=BD．

（2）∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠DCE=90°；
又∵CD=CE，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴DE=

2

CD，
又∵DE=AD+AE且AE=BD，
∴AD+BD=

2

CD．