Question

（2013?萧山区模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（-1，0）、B（3，0），与y轴的

（2013?萧山区模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（-1，0）、B（3，0），与y轴的交点为点D，顶点为C，（1）写出该抛物线的对称轴方程；（2）当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，求出a的取值范围；（3）作直线CD交x轴于点E，问：在y轴上是否存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（-1，0）、B（3，0），
∴抛物线的对称轴x=

?1+3

2

=1；

（2）当∠ACB=60°时，△ABC是等边三角形，即点C坐标为（1，-2

3

），
设y=a（x+1）（x-3），把C点坐标（1，-2

3

）代入，
解得a=

3

2

；
当∠ACB=90°时，△ABC是等腰直角三角形，即点C坐标为（1，-2），
设y=a（x+1）（x-3），把C点坐标（1，-2）代入，
解得a=

1

2

，
即当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，

1

2

≤a≤

3

2

；

（3）由于C（1，-4a），D（0，-3a），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
即

?4a＝k+b b＝?3a

，
解得k=-a，b=-3a，
直线CD的解析式为y=-a（x+3），
故求出E点坐标为（-3，0）；
分两类情况进行讨论；
①如图1，△EHF≌△FKC，
即HF=CK=3，
4a+1=3，
解得a=

1

2

；
②如图2，△EHF≌△EKC，
即EK=HF=3；
即4a=3，解得a=

3

4

；
同理，当点F位于y轴负半轴上，a=

1

4

综上可知在y轴上存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形，且a=

1

2

、a=

3

4

或a=

1

4