Question

定义：设P、Q分别为曲线C1和C2上的点，把P、Q两点距离的最小值称为曲线C1到C2的距离．（1）求曲线C：y=x2

定义：设P、Q分别为曲线C1和C2上的点，把P、Q两点距离的最小值称为曲线C1到C2的距离．（1）求曲线C：y=x2到直线l：2x-y-4=0的距离；（2）若曲线C：（x-a）2+y2=1到直线l：y=x-1的距离为3，求实数a的值；（3）求圆O：x2+y2=1到曲线y＝2x?3x?2(x＞2)的距离．

Answer 1

（1）设曲线C：y=x²的点P（x，x²），
则d＝

|2x?x2?4|

5

＝

(x?1)2+3

5

，
∴当x=1时，d取得最小值

3 5

5

．
曲线C：y=x²到直线l：2x-y-4=0的距离为

3 5

5

．               
（2）由题意，得

|a?1|

2

＝4，a＝1±4

2

．                    
（3）∵y＝

2x?3

x?2

＝2+

1

x?2

(x＞2)，
∴曲线y＝

2x?3

x?2

(x＞2)是中心在（2，2）的双曲线的一支．   
由函数图象的对称性知，当P、Q是直线y=x和圆、双曲线的交点时，|PQ|有最小值．
此时，解方程组

y＝ 2x?3 x?2 y＝x

得Q（3，3），
于是|OQ|＝3

2

，
∴圆O：x²+y²=1到曲线y＝

2x?3

x?2

(x＞2)的距离为3

2

?1．

Answer 2