Question

高数 曲线积分

Answer 1

把积分化为四个直线段上的积分来算：

1. 位于x轴下方的水平的一段上y=-1, dy=0, -1<=x<=1，故这段上的积分等于函数xe^(-1)从-1到1的（对x的）定积分，由于被积函数是奇函数而积分区间对称，所以这段上的积分=0.

2. 在位于y轴右侧的竖直的一段上x=1, dx=0, -1<=y<=1，故这段上的积分等于函数1/(1+y^2) - ye^(-y^2)从-1到1的（对y的）定积分，又由于函数ye^(-y^2)是奇函数而积分区间对称，所以这段上的积分=1/(1+y^2)从-1到1的对y的定积分=pai/2.

3. 位于x轴上方的水平的一段上y=1, dy=0, x从1变化到-1（注意方向性！），故这段上的积分等于函数xe^(-1)从1到-1的（对x的）定积分，由于被积函数是奇函数而积分区间对称，所以这段上的积分=0.

4. 在位于y轴左侧的竖直的一段上x=-1, dx=0, y从1变化到-1，故这段上的积分等于函数-1/(1+y^2) - ye^(-y^2)从1到-1的（对y的）定积分，又由于函数ye^(-y^2)是奇函数而积分区间对称，所以这段上的积分=-1/(1+y^2)从1到-1的对y的定积分，对调积分上下限后利用对称性计算=pai/2.

综上，整个积分=pai/2+pai/2=pai.