Question

一道几何题，与面积比值有关。

点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F。当点E运动到DC的中点时，△ABF与四边形ADEF的面积之比为___ 证明过程！

Answer 1

过E做EG垂直于AB于G，EG与AC交于O。设AB=1。
因为E是CD的中点，所以AB=2CE。又三角形ABF与三角形CEF相似，所以三角形ABF在边AB上的高是2/3。所以三角形ABF的面积是1/3。
所以三角形CEF的面积是1/12。
又因为四边形ADEF的面积＝三角形ACD面积－三角形CEF面积。
所以四边形ADEF的面积是5/12。
所以三角形ABF与四边形ADEF面积的比是4/5.

Answer 2

过E作EG⊥AC于G,AC交BD于O
EG:DO=n/(n+1)
S△CEF=1/2CF×EG
S△BCF=1/2CF×BO
∴S△CEF:S△BCF=EG/BO=EG/DO=n/(n+1)
S△BCE=1/2×S□ABCD×n/(n+1)=n/2(n+1)×S□ABCD
∴可求出S△CEF和S△BCF在S□ABCD中所占的面积比例
S△ABF=S△ABC-S△BCF
四边形ADEF的面积=S△ADC-S△CEF
可求出△ABF与四边形ADEF的面积之比=(n²+3n+1)/(n²2+2n+1)
∴(1）当E运动到DC中点的时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比为5:4