Question

已知F1.F2为双曲线C：x平方-y平方=1的左右焦点，点P在C上，角F1PF2=60度，则P到x轴的距离为

A（根号下3）/ 2 B（根号下6）/2 C 根号下3 D根号下6
答案为b,请用两种方法解
可否再提供一个方法

Answer 1

直接用过焦点面积公式，s=b^2cot(α/2),
所以s=1xcot(30°)=√3
因为s=1/2x(2c)xh
所以h=√6/2
另外一种可以用焦半径公式来解
PF1=ex+a,PF2=ex-a
所以PF1=√2x+1,PF2=√2x-1
所以三角形面积s=1/2*PF1*PF2*sin60°=√3*(2*x^2-1)/4
有s=1/2x(2c)xh=√2y(由于对称可以假设在第一象限)
量式相等有√3*(2*x^2-1)/4=√2y
因为x^2-y^2=1
带入可得y=√6/2或者y=√6/6(舍去，PF2<0)
我也不知道这儿怎么会产生一个增根......舍去的理由有点牵强~~

Answer 2

PF1=p,PF2=q
有定义
|p-q|=2a=2
平方
p²+q²-2pq=4
p²+q²=2pq+4

c²=1+1=2
c=√2
所以F1F2=2c=2√2
余弦定理
cos60=1/2=(p²+q²-8)/2pq
pq=2pq+4-8
pq=4
所以三角形PF1F2面积=12pqsin60=√3

三角形底边F1F2=2√2
所以高是2√3/2√2=√6/2
所以P到x轴的距离=√6/2
选B