Question

连续型均匀分布的概率密度函数问题

根据我能查到的各种资料

分布在（a，b）的服从均匀分布的连续型随机变量X的概率密度函数是
f(x)=
1/(b-a),，当a<x<b时
0，其他
由此我产生了一个疑问
比如 x分布在（0，1）
那么当0<x<1时候 概率密度函数的值岂不是 1/(1-0)=1?
换言之 在0到1之间的无穷多个数中 x取任意一个的概率都是1
这怎么可能呢？
换其他的（a，b）组合也是一样 各色奇葩结果都有
而很显然 对于一个连续型随机变量x来说 取到某数的实际概率是0
如何理解这个密度函数公式呢？
难道它并不代表具体概率 只是分布函数的导数而已吗？

另外 这个问题是我做如下问题时发现的 在此另外请教一下这个问题
均匀分布的方差的求法
推导过程如下

D(X)=E(X^2)-E(X)^2
=∫x^2f(x) dx-(a+b)^2/4
=(b^3-a^3)/3(b-a)-(a+b)^2/4
=(b-a)^2/12
其中要求X^2的均值 也就是X的均方
这里明显把X^2当成了均匀分布来处理
请问为什么X^2依然是均匀分布？如何证明？

Answer 1

概率密度函数不是概率。它是非负的，总面积为1.它的值可以大于1.
连续随机变量的单点概率都为0. 有区间才有非0概率。
概率密度函数的积分F(x)是概率。 比如 F(2)=P(X≤2).

Answer 2