Question

P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。 求证：△PBC是正三角形

Answer 1

方法1：∵正方形ABCD，
∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，
∵∠PAD=∠PDA=15°，
∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，
在正方形内做△DGC与△ADP全等，
∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°

∴∠PDG=90°-15°-15°=60°，
∴△PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形），
∴DP=DG=PG，
∵∠DGC=180°-15°-15°=150°，
∴∠PGC=360°-150°-60°=150°=∠DGC，
在△DGC和△PGC中
DG＝PG，∠DGC＝∠PGC，GC＝GC

∴△DGC≌△PGC，
∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，
同理PB=AB=DC=PC，
∠PCB=90°-15°-15°=60°，
∴△PBC是正三角形．

方法2：∠PAD＝∠PDA＝15°
在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ,  连接PQ, 
则∠PDQ=60°+15°=75°,
同样∠PAQ=75°,
又AQ=DQ,PA=PD,
所以△PAQ≌△PDQ, 
那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°,
在△PQA中,
∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB,
于是PQ=AQ=AB,
显然△PAQ≌△PAB,
得∠PBA=∠PQA=30°,
PB=PQ=AB=BC,
∠PBC=90°-30°=60°,
所以△ABC是正三角形