Question

高等数学 微分方程，这道题怎么确定原方程的特征根呀

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Answer 1

y''+αy'+βy=γe^x的一个特解为 y=e^(2x)+(1+x)e^x，求α、β、γ，并求通解。
解：将y=e^(2x)+(1+x)e^x求导：
y'=2e^(2x)+e^x+(1+x)e^x=2e^(2x)+(2+x)e^x
y''=4e^(2x)+e^x+(2+x)e^x=4e^(2x)+(3+x)e^x
代入原式得：
4e^(2x)+(3+x)e^x+α[2e^(2x)+(2+x)e^x]+β[e^(2x)+(1+x)e^x]=γe^x
(4+2α+β)e^(2x)+[3+x+α(2+x)+β(1+x)]e^x=γe^x
(4+2α+β)e^(2x)+[2α+β+3+(α+β)x]e^x=γe^x
两边对应项系数相等：
4+2α+β=0.............(1)
α+β=0......................(2)
2α+β+3=γ..............(3)
将(2)代入(1)式得α=-4；故β=4; γ=-8+4+3=-1.
即原方程为：y''-4y'+4y=-e^x...........(4)
其齐次方程y''-4y'+4y=0的特征方程r²-4r+4=(r-2)²=0的根为重根r=2, 因此齐次方程
的通解为：y=e^(2x)(c₁+c₂x)
于是得原方程(4)的通解为：y=e^(2x)(c₁+c₂x)+e^(2x)+(1+x)e^x
或写成：y=(1+c₁+c₂x)e^(2x)+(1+x)e^x.

Answer 2

由特解知 特征根为 1， 2， 则 α= -3 ， β = 2 。
将特解代入微分方程 y''-3y'+2y = γe^x, 得 γ= -1.
微分方程通解 y = Ae^2x+Be^x+e^2x+(1+x)e^x
即 y = C1e^2x + (C2+x)e^x

追问

特征根是怎么确定的？

追答

特解含 e^2x, e^x, 特征根 为 2， 1