Question

几何数学，求解

Answer 1

（1） ∵ 正四面体的四个均为全等的等边三角形，由△AOB≌△AOC，D为OA中点，

∴   高BD=DC，在等腰△DBC中，E为BC的中点， ∴  DE⊥BC（等腰三角形三线合一）

同理，高AE=OE，在△AEO中，D为OA中点， ∴DE⊥OA

∴  DE是异面直线OA,BC的公垂线。

（2）两异面直线距离即公垂线DE，直角三角形ADB中，AB=a，AD=a/2

∴  BD=   √ 3/2a   ，在直角三角形DBE中，BE=a/2

∴  DE=√ 2/2a

(3) 等边三角形OBC与等边三角形ABC中，AE⊥BC，OE⊥BC

∴  二面角 O——BC——A即为∠OEA

△OAE中，OA=a , AE=OE= √ 3/2a  

由余弦定理可求：cos∠OEA=1/3

Answer 2