Question

哈密顿力学的数学表述

Answer 1

任何辛流形上的光滑实值函数'可以用来定义一个哈密顿系统。函数'称为哈密顿量或者能量函数。该辛流形则称为相空间。哈密顿量在辛流形上导出一个特殊的向量场，称为辛向量场。该辛向量场，称为哈密顿向量场，导出一个流形上的哈密顿流。该向量场的一个积分曲线是一个流形的变换的单参数族；该曲线的参数通常称为时间。该时间的演变由辛同胚给出。根据刘维尔定理每个辛同胚保持相空间的体积形式不变。由哈密顿流到处的辛同胚的族通常称为哈密顿系统的哈密顿力学。
哈密顿向量场也导出一个特殊的操作，泊松括号。泊松括号作用于辛流形上的函数，给了流形上的函数空间一个李代数的结构。特别的有，给定一个函数'
:若我们有一个概率分布,ρ,则(因为相空间速度()有0散度，而概率是不变的)其传达导数(convectivederivative)可以证明为0，所以
这称为刘维尔定理。每个辛流形上的光滑函数'产生一个单参数辛同胚族，而若{','}=0,则'是守恒的，而该辛同胚是对称变换。
哈密顿向量场的可积性是未解决的问题。通常，哈密顿系统是混沌的；测度，完备性，可积性和稳定性的概念没有良好的定义。迄今为止，动力系统的研究主要是定性的，而非定量的科学。