Question

一道导数的题，要详细过程

Answer 1

解设F(x)
=f(x)/x
由f(x)是奇函数，故F(x)是偶函数
又有x＞0时F'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2＞0
故F(x)在x属于(0,正无穷大)时增函数
即F(x)=x^(-1)f(x)在x属于(0,正无穷大)时增函数
而函数y=x^(-1)是减函数
故f(x)在x属于(0，正无穷大）是减函数
又有f(-1)=-f(1)=0，即f(1)=0
知当x＞0时，f(x)＞0的解集为(1,正无穷大)
又有该函数是奇函数，故x＜0时，f(x)＞0的解集为(0，1)
故选B

Answer 2

首先，f(x)/x在定义域x≠0内是偶函数。
其次，当x＞0时，(f(x)/x)'=(xf'(x)-f(x))/x²＞0，所以f(x)/x在(0,+∞)内是增函数。
所以，f(x)/x在(0,+∞)内是增函数，在(-∞,0)内是减函数。
x＝±1时，f(x)/x=0。
所以，当|x|＞1时，f(x)/x＞0；当|x|＜1且x≠0时，f(x)/x＜0。
所以，当x＞1或-1＜x＜0时，f(x)＞0；当0＜x＜1或x＜-1时，f(x)＜0。

答案是B。

Answer 3

首先由xf'(x)-f(x)>0可知[xf(x)]'>0，即xf(x)单调递增(x>0)。
因为f(-1)=0,f(x)是奇函数，所以f(1)=0。
又因为xf(x)单调递增，f(1)=0；所以xf(x)当x>1时，因为x>1>0，所以f(x)>0；当x<1时，xf(x)<0，所以f(x)<0。
由于奇函数的对成性可知当x<-1时，f(x)<0；当-1<x<0时f(x)>0。