Question

如图所示，在光滑的水平面上停放着一辆平板车，在车上的左端放有一木块B．车左边紧邻一个固定在竖直面内

如图所示，在光滑的水平面上停放着一辆平板车，在车上的左端放有一木块B．车左边紧邻一个固定在竖直面内、半径为R的 1 4 圆弧形光滑轨道，已知轨道底端的切线水平，且高度与车表面相平．现有另一木块A（木块A、B均可视为质点）从圆弧轨道的顶端由静止释放，然后滑行到车上与B发生碰撞．两木块碰撞后立即粘在一起在平板车上滑行，并与固定在平板车上的水平轻质弹簧作用后被弹回，最后两木块刚好回到车的最左端与车保持相对静止．已知木块A的质量为m，木块B的质量为2m，车的质量为3m，重力加速度为g，设木块A、B碰撞的时间极短可以忽略．求：（1）木块A、B碰撞后的瞬间两木块共同运动速度的大小．（2）木块A、B在车上滑行的整个过程中，木块和车组成的系统损失的机械能．（3）弹簧在压缩过程中所具有的最大弹性势能．

Answer 1

（1）设木块A到达圆弧底端时得速度为v 0 ，对木块A沿圆弧下滑得过程，根据机械能守恒定律，有： mgR= 1 2 mv 0 2 在A、B碰撞得过程中，两木块组成得系统动量守恒，设碰撞后的共同速度大小为v 1 ，则： mv 0 =（m+2m）v 1 ， 解得：v 1 = 1 3 2gR ， （2）A、B在车上滑行的过程中，A、B及车组成的系统动量守恒．A、B滑到车的最左端时与车具有共同的速度，设此时速度大小为v，根据动量守恒定律，有： （m+2m）v 1 =（m+2m+3m）v， A、B在车上滑行的整个过程中系统损失的机械能为： △E= 1 2 （m+2m）v 1 2 - 1 2 （m+2m+3m）v 2 = 1 6 mgR， （3）设当弹簧被压缩至最短时，木块与车有相同的速度v 2 ，弹簧具有最大的弹性势能E，根据动量守恒定律有： （m+2m）v 1 =（m+2m+3m）v 2 ， 所以有：v 2 =v． 设木块与车面摩檫力为f，在车上滑行距离为L，由能量守恒，对于从A、B一起运动到将弹簧压缩至最短的过程有： 1 2 （m+2m）v 1 2 = 1 2 （m+2m+3m）v 2 2 +fL+E， 对于从弹簧被压缩至最短到木块滑到车的左端的过程有： 1 2 （m+2m+3m）v 2 2 +E= 1 2 （m+2m+3m）v 2 +fL， 解得：E= 1 12 mgR． 答：（1）木块A、B碰撞后的瞬间两木块共同运动速度的大小为 1 3 2gR ； （2）木块A、B在车上滑行的整个过程中，木块和车组成的系统损失的机械能为 1 6 mgR； （3）弹簧在压缩过程中所具有的最大弹性势能为 1 12 mgR．