Question

如图，边长为2的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D是线段BC上

如图，边长为2的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D是线段BC上的动点（不与B、C重合）连接OD，OD的垂直平分线交AB于M，交OC于N．设CD=x，四边形BCNM的面积为S．（1）当x=1时，求D点坐标；（2）求证：MN=OD；（3）写出S关于x的函数关系式，当CD为何值时，四边形BCNM的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

解：如图
（1）当x=1时，D是BC的中点，D点坐标为（1，2）；

（2）证明：过点M作MG⊥OC垂足为G，四边形OABC为正方形
∴OC=OA=MG∠DCO=∠MGN=99°
又∵MN是OD的垂直平分线
∴∠MNG+∠COD=90°∠CDO+∠COD=90°
∴∠MNG=∠CDO
∴△COD≌△GMN（AAS）
∴MN=OD；

（3）∵MN是OD的垂直平分线
∴OE=

1

2

OD∠NEO=90°=∠DCO∠NOE=∠DOC
∴△NEO∽△DCO
∴

OE

OC

＝

ON

OD

∴ON=

1

4

OD2=

1

4

x2+1
CN=2-ON=?

1

4

x2+1
∴S_{四边形BCNM}=?

1

4

x2+1+x?

1

4

x2+1
=?

1

2

x2+x+2
=?

1

2

(x?1)2+

5

2

∴当CD=1时，四边形BCNM的面积最大，最大值是

5

2

．