Question

已知函数f（x）=lnx+a（x-1）（a为常数，a∈R）．（Ⅰ）若x=1时，函数f（x）取得极大值，求实数a的值；（

已知函数f（x）=lnx+a（x-1）（a为常数，a∈R）．（Ⅰ）若x=1时，函数f（x）取得极大值，求实数a的值；（Ⅱ）若不等式f′（x）≥-2x在函数定义域上恒成立，（其中f′（x）为f（x）的导函数）求a的取值范围．

Answer 1

∵f（x）=lnx+a（x-1）∴定义域（0，+∞），f'（x）=

1

x

+a．
（Ⅰ）∵f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0∴a=-1
f（x）=lnx-（x-1）f'（x）=

1

x

?1＝?

x?1

x

，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜1∴f（x）在（0，1）上单调递增，
在（1，+∞）上单调递减，
满足在x=1处取得极大值，
∴a=-1．
（Ⅱ）若不等式f′（x）≥-2x在函数定义域上恒成立．
即

1

x

+a≥-2x在（0，+∞）上恒成立，-a≤

1

x

+2x在（0，+∞）上恒成立
∵

1

x

+2x≥2

2

，“=”当且仅当x=

2

2

时取到，
∴a≥-2

2

．