Question

1×2×3×…×100所得的积的末尾有多少个连续的0？为什么

1×2×3×…×100所得的积的末尾有多少个连续的0？为什么？

Answer 1

题：1×2×3×........×100所得的积的末尾有多少个连续的0？为什么
分析：
本题相当于
1×2×3×........×100=10^b*N,N不被10整除，求b.
其实，10^b由2^b和5^b乘得。我们后面会分析出，1×2×3×........×100中含有因子2的次数大于含有5的次数。因此，我们讨论5^b就行了。
答案是:
100/5+100/25=24.
还有一些等价题，我们一并分析，并给出完整的解答方法。
题1:
1×2×3×........×100=2^a*5^b*M,其中M与10互质(即不含有10的因子2,5),
求a,b中较小的一个。
我们后面会知道，a显然大于b.故只需要求b即可。
于是题目等价于:
题1-:
1×2×3×........×100=5^b*M,其中M与5互质,求b.
还可以是：
题2：
1×2×3×........×100=5^b*M,求b最大可以是多少。
解：
100/5+100/25+[100/125]+...=20+4+0=24
答：末尾最后有24个连续的0.原因如下.
我们先分析题1-，然后再详细解释为什么这样做。
题1-:
1×2×3×........×100=5^b*M,其中M与5互质,求b
100以内5的倍数(有且只有这些数含有约数5)：
5,10,
...
,
100
它们的个数，是100/5的整数部分，用高斯取整函数[x]，记成[100/5]
这里100/5本身是整数，[100/5]直接写作100/5.
每个数计因子5各1次,得到5的指数
e(1)=[100/5];
其中25,50,75,100，还能被5^2整除，各数应当再多计因子5各1次。
这些数的个数为4,可以这样计算：[100/5^2]=4,
显然也可以这样算：[[100/5]/5]=[20/5]=4
这样得到由5^2的倍数追加的指数
e(2)=[100/5^2]
同样还要讨论5^i(i>=3)的倍数的贡献，但是[100/5^3]=0,已经不用再考虑。
再次重申：[x]表示x的整数部分。100/5^3在(0,1)之内（值是0.8)，整数部分为0.
于是所求指数
b=e(1)+e(2)+...=[100/5]+[100/5^2]+...=20+4+0=24
在题1中,
1×2×3×........×100=2^a*5^b*M,其中M与10互质(即不含有10的因子2,5),
求a,b中较小的一个
显然a=[100/2]+...>b,于是原式=10^b*(2^(a-b)*M),后面的项无法被10整除，故得数最后的0的个数就是b.
思考题1:
求以上题1中的a.
解：100/2=50，50/2=25，[25/2]=12，12/2=6，...
或者通过心算直接写出算式：50+25+12+6+3+1(+0)=97
思考题2:
1*2*
...
*
N
=p^e
*
k,p为素数。求e的最大值。
答案：
e
=[N/p}+[N/p^2]+[N/p^3]+...(可以一直加下去，加到0当然就可以停了，加也白加)
=sum([N/p^i])
{i从1到无穷大}
在数论中，这个函数常常写成：
Pot_(p)
(N!)
Pot_p
(k)就是k的标准素因子分解式中,质数p的指数。
注意：
e1=[N/p}
e2=[N/p^2]=[e1/p]
这样递推计算，省力。

Answer 2

积的末尾零的个数是由因数2和5的个数决定的，
100以内的数含有的约数2的个数一定多于5的个数，所以只要看5的个数就行了，
由于100÷5=20（个），
100÷25=4（个）．
即在1×2×3×4×…×100的积的末尾有20+4=24个0．
故答案为：24．