Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥BB1C1C，BC=1，AB=BB1=2，∠BCC1=π3．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥BB1C1C，BC=1，AB=BB1=2，∠BCC1=π3．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）P是线段BB1上的动点，当平面C1AP⊥平面AA1B1B时，求线段B1P的长；（Ⅲ）若E为BB1的中点，求二面角C1-AE-A1平面角的余弦值．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：AB⊥侧面BB₁C₁C，得AB⊥C₁B，
由BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

，
知∠C₁BC=90°，即C₁B⊥CB，
又CB∩BA=A，
故C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：由已知AB⊥侧面BB₁C₁C，
知面ABB₁A₁⊥面BB₁C₁C，
过C₁作C₁P⊥BB₁于P，
则C₁P⊥面AA₁B₁B，
因C₁P?面C₁AP，
故平面C₁AP⊥平面AA₁B₁B，
在直角三角形BB₁C₁中，
B₁P=B₁C₁cos60°=

1

2

；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知C₁P⊥面AA₁B₁B，
过P作PH⊥AE，交AE所在直线于点H，
则AE⊥平面C₁HP，即有AE⊥C₁H，
∠C₁HP为二面角C₁-AE-A₁平面角．
由三角形相似求得：PH＝

5

5

，又C1P＝

3

2

，
∴tan∠C1HP＝

C1P

PH

＝

3

2

/

5

5

＝

15

2

，
故cos∠C1HP＝

2 19

19

．