Question

求摆线的质心用二重积分，怎么计算

Answer 1

考研二重积分中的形心计算公式是：

∫∫D xdxdy=重心横坐标×D的面积，∫∫D ydxdy=重心纵坐标×D的面积。

当f(x,y)在区域D上可积时，其积分值与分bai割方法无关，可选用平行于坐标zhi轴的两组直线来分割D，这时每个小区域的面积Δσ=Δx·Δy，由此可以看出二重积分的值是被积函数和积分区域共同确定的。将上述二重积分化成两次定积分的计算，称之为：化二重积分为二次积分或累次积分。

设单位面积质量1,

得到此均质圆弧质量为:(α/(2π))*πa^2=(1/2)αa^2

显然，质心应在扇zhi形的对称轴上,设其与圆心的距离为X

则:((1/2)αa^2)X=∫∫(a*cosα)*da*adα=∫∫(cosα)a^2dadα

(a从0到a,α从-α/2到α/2)

((1/2)αa^2)X=∫∫(cosα)a^2dadα=∫(cosα)dα ∫a^2da =2sin(α/2)*(1/3)a^3

=(2/3)sin(α/2)a^3

X=(4a/3)sin(α/2)

扩展资料：

在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域。

这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。

参考资料来源：百度百科-二重积分

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示