Question

高中数学必修2解析几何中圆的2道题，是我们学校暑期作业上的，在此请大家帮帮我，谢谢啦

一。已知圆系方程X2+Y2-aX-4aY+9/2a2=0
1.求证所有圆心都在直线Y=2X上
2。求圆的公切线方程。

二。已知直线Y=AX+B与圆x2+y2=1
1.a,b满足什么条件时，直线和圆有两个公共点？
2。设这两个公共点为M,N,OM,ON和X轴成的角分别为∠1，∠2，
求证：COS(∠1+∠2)=a2-1/a2+1

注：题目中的A2,B2中的2代表平方，以此类推，

谢谢各路高手

Answer 1

1）
方程应该是：X2+Y2-2aX-4aY+9/2a2=0

圆心：(a,2a)
设：X=a,Y=2a
a=X=Y/2
Y=2X
圆心在直线 :y=2x，
半径R=a*2^0.5/2
圆心在一条直线上，所以，公切线有两个就是圆心直线左右移半径：
设该直线：y=2x+b
R=a*2^0.5/2=|(2x-y+b)-(2x-y)|/(1+k^2)^0.5
=|b|/(1+2^2)^0.5
|b|=a*10^0.5/2
公切线：y=2x+a*10^0.5/2
y=2x-a*10^0.5/2

2)
圆心到直线的距离小于半径R=1
R=1>|A*0-0+B|/(1+k^2)^0.5=|b|/(1+a^2)^0.5
b^2<1+a^2
这时，直线和圆有两个公共点
y=ax+b代入圆方程：
(1+a^2)x^2+2abx+b^2-1=0
x1x2=(b^2-1)/(a^2+1)
x1+x2=-2ab/(a^2+1)
代入直线方程：
y1y2=(ax1+b)(ax2+b)=a^2(b^2-1)/(a^2+1)-2a^2b^2/(a^2+1)+b^2
=(b^2-a^2)/(a^2+1)
y1+y2=a(x1+x2)+2b=-2a^2*b/(a^2+1)+2b=2b/(a^2+1)
cos(∠1+∠2)=cos∠1cos∠2-sin∠1sin∠2
=x1/(x1^2+y1^2)^0.5*[x2/(x2^2+y2^2)^0.5]-y1/(x1^2+y1^2)^0.5*[y2/(x2^2+y2^2)^0.5]
=x1x2/1^0.5-y1y2/1^0.5
=(b^2-1)/(a^2+1)-(b^2-a^2)/(a^2+1)
=(a^2-1)/(a^2+1)
得证。