高数 极值 求高手作答！
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解：1题，用拉格朗日乘数法求解。
∵内接长方体的表面积S=2(xy+yx+xz)，∴设F(x,y,z,λ)=2(xy+yz+xz)+λ[1-(1/4)x^2-y^2-z^2)。分别求出F(.)对x、y、z、λ的偏导数，并令其值为0，∴F'(x,y,z,λ)x=2(y+z)-(λ/2)x=0、F'(x,y,z,λ)y=2(x+z)-2λy=0、F'(x,y,z,λ)z=2(y+x)-λz=0、F'(x,y,z,λ)λ=1-(1/4)x^2-y^2-z^2=0。解得，y=z，x=(√33-1)z/2，z^2=8/(33-√33)。∴最大值S=2(√33)z^2=16/(√33-1)。
2题，转化成无条件极值求解。∵y=x-π/4，∴(cosy)^2=(1+sin2x)/2，∴z=(cosx)^2+(1+sin2x)/2=1+(1/2)(cos2x+sin2x)=1+(√2/2)cos(2x-π/4)，∴2x-π/4=2kπ，x=π/8+kπ时，有最大值1+√2/2；2x-π/4=2kπ+π,x=5π/8+kπ时，有最小值1-√2/2。其中y=x-π/4，k=0，±1，±2……。
供参考。
∵内接长方体的表面积S=2(xy+yx+xz)，∴设F(x,y,z,λ)=2(xy+yz+xz)+λ[1-(1/4)x^2-y^2-z^2)。分别求出F(.)对x、y、z、λ的偏导数，并令其值为0，∴F'(x,y,z,λ)x=2(y+z)-(λ/2)x=0、F'(x,y,z,λ)y=2(x+z)-2λy=0、F'(x,y,z,λ)z=2(y+x)-λz=0、F'(x,y,z,λ)λ=1-(1/4)x^2-y^2-z^2=0。解得，y=z，x=(√33-1)z/2，z^2=8/(33-√33)。∴最大值S=2(√33)z^2=16/(√33-1)。
2题，转化成无条件极值求解。∵y=x-π/4，∴(cosy)^2=(1+sin2x)/2，∴z=(cosx)^2+(1+sin2x)/2=1+(1/2)(cos2x+sin2x)=1+(√2/2)cos(2x-π/4)，∴2x-π/4=2kπ，x=π/8+kπ时，有最大值1+√2/2；2x-π/4=2kπ+π,x=5π/8+kπ时，有最小值1-√2/2。其中y=x-π/4，k=0，±1，±2……。
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