在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,点E在DC的延长线上,AE交BC边于点F,且AE=AB. (1)如图l,求证:∠

在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,点E在DC的延长线上,AE交BC边于点F,且AE=AB.(1)如图l,求证:∠B=∠E:(2)如图2,在(1)的条件下,在BC... 在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,点E在DC的延长线上,AE交BC边于点F,且AE=AB. (1)如图l,求证:∠B=∠E:(2)如图2,在(1)的条件下,在BC上取一点M,使BM=CE,连接AM,过M作MH⊥AE于H,连接CH,若∠BAE=∠EHC=60°,CF=2,求线段AH的长. 展开
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(1)过点A作AG//CD交BC于点G,AP⊥BC于点P,AQ⊥CD于点Q,连接AC,则有∠APG=∠AQE=90°,由AD//BC可得四边形AGCD是平行四边形,再结合AD=CD可得 AGCD是菱形,即可得到∠ACP=∠ACD,则可得AP=AQ,再有AB=AE,可证得Rt△APB≌Rt△AQE,从而可以证得结论;(2)


试题分析:(1)过点A作AG//CD交BC于点G,AP⊥BC于点P,AQ⊥CD于点Q,连接AC,则有∠APG=∠AQE=90°,由AD//BC可得四边形AGCD是平行四边形,再结合AD=CD可得 AGCD是菱形,即可得到∠ACP=∠ACD,则可得AP=AQ,再有AB=AE,可证得Rt△APB≌Rt△AQE,从而可以证得结论;
(2)在HE上截取HK=CH,连接MK、AC,由∠KHC=60°可得△KHC是等边三角形,∠AHC=120°,即可得到CH=CK,∠HKC=60°,由AB=AE,∠B=∠E,BM=CE可证得△ABM≌△AEC,即得∠BAM=∠EAC,AM=AC,即可得到△AMC是等边三角形,则可得AC=CM,∠HCK=∠ACM=60°,从而可以证得△MCK≌△ACH,即得MK=AH,∠AHC=∠MKC=120°,则可得到∠MKF=120°-60°=60°,由MH⊥AH可得∠HMK=30°,设CH=CK=HK= ,在Rt△MHK中,则有MK=AH= ,再在Rt△MHK中,根据勾股定理可得MH= ,利用面积法易求MF=4,即可得到AM=MC=4+2=6,在Rt△AHM中根据勾股定理求解即可.
解:(1)过点A作AG//CD交BC于点G,AP⊥BC于点P,AQ⊥CD于点Q,连接AC

则有∠APG=∠AQE=90°
∵AD//BC
∴四边形AGCD是平行四边形
∵AD=CD
AGCD是菱形
∴∠ACP=∠ACD  
∴AP=AQ
∵AB=AE
∴Rt△APB≌Rt△AQE
∴∠B=∠E;
(2)在HE上截取HK=CH,连接MK、AC

∵∠KHC=60°
∴△KHC是等边三角形,∠AHC=120°
∴CH=CK,∠HKC=60°
∵AB=AE,∠B=∠E,BM=CE
∴△ABM≌△AEC
∴∠BAM=∠EAC,AM=AC
∵∠BAE=60°
∴∠MAC=60°
∴△AMC是等边三角形
∴AC=CM,∠HCK=∠ACM=60°
∴∠MCK=∠ACH
∴△MCK≌△ACH
∴MK=AH,∠AHC=∠MKC=120°
∴∠MKF=120°-60°=60°
∵MH⊥AH
∴∠HMK=30°
∴设CH=CK=HK=  
在Rt△MHK中,则有MK=AH=
在Rt△MHK中,
∴MH=
利用面积法易求:MF=4
∴AM=MC=4+2=6
在Rt△AHM中,

解得: (舍去)
∴AH=2 = .
点评:此类问题难度较大,在中考中比较常见,一般在压轴题中出现,需特别注意.
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