Question

非空数集A满足条件：若a∈A，a≠1，则11?a∈A．①若2∈A，则在A中还有两个元素是什么？②求证：集合A中至

非空数集A满足条件：若a∈A，a≠1，则11?a∈A．①若2∈A，则在A中还有两个元素是什么？②求证：集合A中至少有三个元素．

Answer 1

①因为a∈A，a≠1，则

1

1?a

∈A，
所以2∈A，则在A中还有两个元素是：

1

1?2

＝?1，

1

1?(?1)

＝

1

2

，
即A中还有两个元素是：-1、

1

2

；
②由

1

1?a

∈A，有

1

1? 1 1?a

∈A，即1?

1

a

∈A，
（1）若A中只有一个元素，
则a=

1

1?a

，
即a²-a+1=0，无解；
（2）若A中有两个元素，
由（1）知，a≠

1

1?a

，
则a=1-

1

a

，或

1

1? 1 1?a

＝

1

1?a

，
易得两方程均无解；
所以集合A中至少有三个元素．