Question

如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与A、B重合），连AP，BP，过C作CM∥BP交PA的延长线于

如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与A、B重合），连AP，BP，过C作CM∥BP交PA的延长线于点M，（1）求证：△PCM为等边三角形；（2）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．

Answer 1

（1）证明：作PH⊥CM于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APC=∠ABC=60°，
∠BAC=∠BPC=60°，
∵CM∥BP，
∴∠BPC=∠PCM=60°，
∴△PCM为等边三角形；

（2）解：∵△ABC是等边三角形，△PCM为等边三角形，
∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA，
∴∠BCP=∠ACM，
在△BCP和△ACM中，

BC＝AC ∠BCP＝∠ACM CP＝CM

，
∴△BCP≌△ACM（SAS），
∴PB=AM，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=

3

2

3

，
∴S_梯形PBCM=

1

2

（PB+CM）×PH=

1

2

×（2+3）×

3 3

2

=

15

4

3

．