Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD=BA

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD=BA．

Answer 1

解：如图：以AD为边，在△ADB中作等边三角形ADE，连接BE．
∵∠BAE=90°-60°-15°=15°，即∠BAE=∠CAD，且AB=AC，AE=AD，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠BEA=∠CDA=180°-15°-15°=150°，
∴∠BED=360°-∠BEA-60°=150°，即∠BEA=∠BED；
又∵AE=ED，BE=BE，
∴△BEA≌△BED（SAS），
∴BA=BD．

Answer 2

证明:在⊿ABC内取点E,使∠EAB=∠EBA=15º,连接DE.
∵∠DAC=∠DCA=15º;AB=AC.(已知).
∴⊿EAB≌⊿DAC(ASA),AE=AD.
又∠EAD=∠BAC-∠EAB-∠DAC=60º.
∴⊿EAD为等边三角形,ED=EA;∠AED=60º.
∵∠AEB=150º.
∴∠DEB=360º-∠AEB-∠AED=150º.
∴∠DEB=∠AEB;又ED=EA(已证),BE=BE.
所以,⊿BED≌⊿BEA(SAS),BD=BA.