【阅读理解】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC=AB+BD
【阅读理解】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC=AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE=AB，连接DE，则由...
【阅读理解】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC=AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE=AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）∴∠AED=∠B=90°，DE=DB又∵∠C=45°，∴△DEC是等腰直角三角形．∴DE=EC．∴AC=AE+EC=AB+BD．【解决问题】已知，如图2，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E，若AB=2，则三角形DEC的周长为______．【数学思考】：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想．【类比猜想】任意三角形ABC，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图4，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系．
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解决问题∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，∠B=90°，
∴∠BAD=∠CAD，∠AED=∠B=90°，DB=DE．
在Rt△ABD和RtAED中，
，
∴Rt△ABD≌RtAED（HL），
∴AB=AE．
∵AB=CB，
∴AE=CB．
∵△CDE的周长为=CD+CE+DE，
∴△CDE的周长为=CD+DB+CE=BC+CE=AE+CE=AC．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC=2
．
故答案为：2
；
数学思考：
如图3，在CA的延长线上截取AE=AB，连接DE．
∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD=∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
，
△EAD≌△BAD（SAS）．
∴∠AED=∠ABD，DB=DE，
∵AB=BC，∠ABC=90°
∴∠C=45°，∠ABD=90°，
∴∠AED=90°，
∴∠EDC=45°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC．
∴BD=EC．
∵EC=AE+AC，
∴BD=AE+AC
∴DB=AE+AC=AB+AC；
【类比猜想】BD=AB+AC．
理由：在CA的延长线上取一点E，使AE=AB，连接DE，
∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD=∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
∴∠BAD=∠CAD，∠AED=∠B=90°，DB=DE．
在Rt△ABD和RtAED中，
|
∴Rt△ABD≌RtAED（HL），
∴AB=AE．
∵AB=CB，
∴AE=CB．
∵△CDE的周长为=CD+CE+DE，
∴△CDE的周长为=CD+DB+CE=BC+CE=AE+CE=AC．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC=2
| 2 |
故答案为：2
| 2 |
数学思考：
如图3，在CA的延长线上截取AE=AB，连接DE．
∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD=∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
|
△EAD≌△BAD（SAS）．
∴∠AED=∠ABD，DB=DE，
∵AB=BC，∠ABC=90°
∴∠C=45°，∠ABD=90°，
∴∠AED=90°，
∴∠EDC=45°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC．
∴BD=EC．
∵EC=AE+AC，
∴BD=AE+AC
∴DB=AE+AC=AB+AC；
【类比猜想】BD=AB+AC．
理由：在CA的延长线上取一点E，使AE=AB，连接DE，
∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD=∠BAD，
在△EAD和△BAD中，
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