Question

为什么在可降阶微分方程中，不显含未知函数y的微分方程不考虑p＝0的情

为什么在可降阶微分方程中，不显含未知函数y的微分方程不考虑p＝0的情况，而不显含x的却考虑p＝0的情况，急求

Answer 1

不显含y的二阶微分方程y''=f(x,y')，其中的x很明显只能作为自变量，那么y',y''之间有关系y''=d(y')/dx，所以令y'=p后，方程就是一阶微分方程dp/dx=f(x,p)。
不显含x的时候，y''=f(y,y')，这时候还是y''=d(y')/dx，但是x不能再出现了，否则出现2个只能作为自变量的变量x,y，微分方程无法降阶。所以选择已经出现的y作为自变量，那么y'=p，y''=dp/dx必须化为p对y的导数，y''=dp/dx=dp/dy×dy/dx=p*dp/dy

Answer 2

个人理解：不显含x的二阶微分方程，令y'=dy/dx=p，方程中因为不显含x，所以y'中不含x的项，p是由y来表示，例如y'=y^2，其中p=y^2，那么看成复合函数求导(由外到里)，将y视为中间变量，两边对x求导，y''=2y*y'，其中p'=dp/dy=2y(这里是对y求导)，y'=p，所以y''=(dp/dy)*y'（不知道这样理解对不对，我是这样理解的）