Question

如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．（1）求证：CE2=CD?CB；

如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．（1）求证：CE2=CD?CB；（2）若AB=BC=2，求CE和CD的长．

Answer 1

（1）证明：连接BE．
∵BC为⊙O的切线∴∠ABC=90°
∵AB为⊙O的直径∴∠AEB=90°                   …（2分）
∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO        …（4分）
∵∠AEO=∠CED∴∠CED=∠CBE，
∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE，
∴

CE

CB

＝

CD

CE

，∴CE²=CD?CB       …（6分）
（2）解：∵OB=1，BC=2，∴OC=

5

，∴CE=OC-OE=

5

-1         …（8分）
由（1）CE²=CD?CB得：（

5

-1）²=2CD，∴CD=3-

5

     …（10分）