Question

已知函数f（x）=lnx+x2-ax（a∈R）．（1）若f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）若f（x）

已知函数f（x）=lnx+x2-ax（a∈R）．（1）若f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）若f（x）存在极值，试求a的取值范围，并证明所有极值之和小于-3+ln12；（3）设an=1+1n（n∈N*），求证：3（a1+a2+…+an）-（a12+a22+…+an2）＜ln（n+1）+2n．

Answer 1

（1）f′（x）=

1

x

+2x-a，x＞0，
由已知，f′（x）＞0对x＞恒成立，
即a≤

1

x

+2x，x＞0，由于

1

x

+2x≥2

1 x ×2x

=2

2

，所以a≤2

2

（2）由已知，f′（x）=0在（0，+∞）内有穿越型的零点，即2x²-ax+1=0在（0，+∞）内有穿越型的零点，
记g（x）=2x²-ax+1，由于g（0）=0，所以

△＝a2?8＞0 a 4 ＞0

，解得a＞2

2

．
设f（x）的两个极值点为x₁，x₂，则x₁+x₂=

a

2

，x₁x₂=

1

2

，∴f（x₁）+f（x₂）=（lnx₁+x₁²-ax₁）+（lnx₂+x₂²-ax₂）
=lnx₁x₂-a（x₁+x₂）+（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=ln

1

2

-

a2

2

+

a2

4

-1=-

a2

4

-1+ln

1

2

＜-3+ln

1

2

，所以所有极值之和小于-3+ln

1

2

；
（3）令a=3，则f（x）=lnx+x²-3x，x＞1，f′（x）=

2x3?3x+1

x

=

(x?1)(2x?1)

x

＞0，
即f（x）在（1，+∞）上为增函数，所以f（x）＞f（1）=-2，
即lnx+x²-3x＞-2，3x-x²＜lnx+2，
∴3（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁²+a₂²+…+a_n²）＜ln（（a₁a₂…a_n）+2n=ln（n+1）+2n．