设η是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是Ax=0的一个基础解系．证明：η，η+ξ1，…，η+
设η是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是Ax=0的一个基础解系．证明：η，η+ξ1，…，η+ξn-r线性无关．...
设η是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是Ax=0的一个基础解系．证明：η，η+ξ1，…，η+ξn-r线性无关．
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解答：证明：设存在一组数x，x1，…，xn-r，使
xη+x1（η+ξ1）+…+xn-r（η+ξn-r）=0 （1）
即
（x+x1+…+xn-r）η+x1ξ1+…+xn-rξn-r=0（2）
由题设Aη=b，Aξi=0（i=1，…，n-r）．
用矩阵A左乘（2）的两边，得（x+x1+…+xn-r）b=0
因b≠0，得
x+x1+…+xn-r=0 （3）
代入（2）得x1ξ1+…+xn-rξn-r=0
因基础解系ξ1，…，ξn-r线性无关，
所以x1=…=xn-r=0，代入（3）得x=0．
因此（1）只有零解，从而η，η+ξ1，…，η+ξn-r线性无关．
xη+x1（η+ξ1）+…+xn-r（η+ξn-r）=0 （1）
即
（x+x1+…+xn-r）η+x1ξ1+…+xn-rξn-r=0（2）
由题设Aη=b，Aξi=0（i=1，…，n-r）．
用矩阵A左乘（2）的两边，得（x+x1+…+xn-r）b=0
因b≠0，得
x+x1+…+xn-r=0 （3）
代入（2）得x1ξ1+…+xn-rξn-r=0
因基础解系ξ1，…，ξn-r线性无关，
所以x1=…=xn-r=0，代入（3）得x=0．
因此（1）只有零解，从而η，η+ξ1，…，η+ξn-r线性无关．
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