Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．（1）求证：点E

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．（1）求证：点E是边BC的中点；（2）若EC=3，BD=26，求⊙O的直径AC的长．

Answer 1

解答：解：（1）证明：连接DO；
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴EB=ED，
∴EB=EC，即点E是边BC的中点；

（2）∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线，
∴BC²=BD?BA，
∴（2EC）²=BD?BA，即BA?2

6

=36，
∴BA=3

6

，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC=

AB2?BC2

=

(3 6 )2?62

=3

2

．