Question

高数问题二元函数

高数问题二元函数设有一圆板占有平面闭区域{（x,y)|x^2+y^2<=1}该圆板被加热，以致在点(x,y)的温度是T=x^2+2y^2-x。求该圆板的最热点和最冷点。

Answer 1

解：
分析，显然本题如果要用拉格朗日乘数法时，其条件函数不唯一是最大的障碍，想办法转换即可！
令：φ(x,y)=x²+y²-m=0，其中：(x,y)∈{(x,y)|x²+y²≤1}，显然：
0≤m≤1
构造函数：
L(x,y,λ)=T(x,y)+λ·φ(x,y)=x²+2y²-x+λ(x²+y²-m)
因此：
L'x=2x-1+2λx=0
L'y=4y+2λy=0
L'λ=x²+y²-m=0
因此：
x=1/2(1+λ)
λ=-2或者y=0
y=±√(m-1/4)或者x=±√m
因此，可以得到的点是：
(x0,y0)=(-1/2，±√(m-1/4))，
(x1,y1)=（±√m，0）
带入原温度方程：
T(x0,y0)=m+y²-x=m+m-1/4+1/2=2m+1/4
T(x1,y1)=m+y²-x=m+0-√m或者m+0+√m
即：T(x1,y1)=(√m±1/2)² - 1/4
带入：0≤m≤1，则：
当m=1时，T(x0,y0)=9/4，最大，此时：最热点是：(x0,y0)=(-1/2，±√3/2)，
当m=1/4时，T(x1,y1)=-1/4，最小，此时：最冷点是：(x1,y1)=(1/2,0)

Answer 2

如图