Question

证明收敛数列极限的唯一性（高手帮帮菜鸟吧）为什么

Answer 1

证明：
假设数列an收敛于实数A和实数B，其中A≠B，不妨假设A<B。那么对于任给的e，总存在N>0，使得对于任意的n≥N，总有
|an-A|<e
取e=(B-A)/2，那么对于任意的n≥N，必有
|an-A|<(B-A)/2
即A-(B-A)/2<an<A+(B-A)/2
即(3A-B)/2<an<(A+B)/2
因此
(3A-B)/2-B<an-B<(A+B)/2-B
即
3(A-B)/2<an-B<(A-B)/2
由于A<B，所以A-B<0
因此an-B<(A-B)/2<0对于任意的n≥N成立。
即|an-B|>|A-B|/2对于任意的n≥N成立。
因此存在一个e'=|A-B|/2>0，使得对于任意的N'>0，总会有更大的N''>N且N>N'，使得
对于任意的n≥N''，总是不满足|an-B|<e'。
根据数列极限的e-N定义法，数列an不收敛于B。
归谬完毕。