Question

陈机修数学分析证明实数集是不可列集证明方法是否存在问题？书中证明方法如图片所示。

问题在于照此方法也可证明有理数集是不可列集，得出矛盾（有理数可列）。所以书中的证明是存在问题的。但是又 不太确定，请老师指教

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Answer 1

我刚刚也遇到这个问题，后面想通了。

1. 闭区间套定理是：所有的闭区间[a_n,b_n]内有唯一的实数(此处n=1,2,...无穷个数)，即取极限下的闭区间内存在唯一个数，这个属于实数；

2. 按书中的证明得到是：存在这样一个闭区间套，使得假设可列的“实数集”{x1,...,xn,...}中的所有元素x_n均在极限的闭区间[a_n,b_n]“外”(此处n代表趋于无穷的一个数)；但这个闭区间套“内”必然有唯一的一个实数a，那么a必然不属于{x1,...,xn,...}。

3. 根据假设，{x1,...,xn,...}就是实数集，那么a应该属于{x1,...,xn,...}，得到矛盾。
   

Answer 2

关键是有理数可以写成两个整数之比。可以按分子分母相加的和按从小到大顺序排列。而实数好多都不能，比如根号2……lg2,1.145684……,0.0000……,1.5535224……等等，然而你写实数，第一个排0，而第二个你要排哪个数？0.1？0.01？0.001？……不知道是不是？实数一个接近0的里面还有更接近0的。所以实数不可数。

Answer 3

证明没有问题

根据闭区间套定理，存在唯一的实数ξ∈所有的闭区间[an,bn]，因为之前已得出所有有理数都∉[an,bn]，所以可以得出，实数ξ是无理数。

追问

"存在唯一的实数ξ∈所有的闭区间[an,bn]",ξ也可以是有理数，比如在[0,1]用1/n分割区间，形成的闭区间套存在ξ=0。ξ可以是有理数

追答

我是根据证明过程中的假设来的，任何有理数都∉[an,bn]，所以ξ只能是无理数。也是为了说明有理数是不可列集的命题是错误的

Answer 4

区间套定理的理论基础是实数集的分划定义，套出的点是实数，但未必是有理数，所以有理数集可列而实数集不可列

Answer 5

当然不可以，区间是实数集的子集，可不是有理数集的子集，或者说有理数里没有区间（表达不清楚😅）