Question

x1,x2是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根，求使x1/x2+x2/x1-2的值为整数的实数k的整数值。

Answer 1

x1+x2=1
x1x2=(k+1)/4k
所以(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=1-(k+1)/k=-1/k

x1/x2+x2/x1-2
=(x1²+x2²-2x1x2)/x1x2
=(x1-x2)²/x1x2
=(-1/k)/[(k+1)/4k]
=-4/(k+1)是整数
所以k+1是4的约数
k+1=1,-1,2,-2,4,-4

判别式大于等于0
16k²-16k²-16k>=0
k<=0
二次方程则4k≠0
所以k<0
所以
k=-2,k=-3,k=-5

Answer 2

∵x1，x2是方程4kx²-4kx+k+1=0的两个根，
∴x1+x2=1 x1x2=(k+1)/(4k)
∴(2x1-x2)(x1-2x2)=2x1²+2x2²-3x1x2=2(x1²+x2²)-3x1x2=2(x1+x2)²-7x1x2=2-7(k+1)/(4k)
令2-7(k+1)/(4k)=-3/2，解得k=1，所以存在。
x2/x1+x1/x2-2=(x2²+x1²)/(x1x2)-2=[(x1+x2)²-2x1x2]/(x1x2)-2=(1-2x1x2)/(x1x2)-2=1/(x1x2)-4
=4k/(k+1)-4=-4/(k+1)
因为是整数，所以k+1=±1，±2，±4
解得k=-5，-3，-2，0，1，3