求心形线r=a(1+cosθ)(a>0)绕极轴旋转所围成的立体的体积~
θ=0，r=2a，θ=π，r=0，关于极轴对称。
1、极轴左边：
V=∫（0,2a）πy²dxx
=rcosθ=a(1+cosθ)cosθ
=a(cosθ+cos²θ)dx
=a(-sinθ-2sinθcosθ)dθy
=rsinθ=a(1+cosθ)sinθ
=a(sinθ+sinθcosθ)，
代入：V=∫（0,2a）πy²dx
=π∫（π/2，0）a²(sinθ+sinθcosθ)²a(-sinθ-2sinθcosθ)dθ
=πa³∫（0，π/2）sin³θ（1+cosθ）²（1+2cosθ）dθ
=-πa³∫（0，π/2）（1-cos²θ）（1+cosθ）²（1+2cosθ）dcosθ
设t=cosθV=-πa³∫（1，0）（1-t²）（1+t）²（1+2t）dt
=πa³∫（0,1）（1-t²）（1+2t+t²）（1+2t）dt
=πa³∫（-1,1）（1-t²）（1+4t+5t²+2t³）dt
=πa³∫（0,1）（1+4t+4t²-2t³-5t^4-2t^5）dt
=πa³[t+2t²-t^4/2-t^5-t^6/3]（0,1）=πa³(1+2-1/2-1-1/3)=πa³(2-5/6)=7πa³/6
2、极轴右边：
r=a（1+cosθ）a＞0
r²=ar+acosθ
=ar+ax
对原式进行两边积分
原式=（π/2）[ax十（2/3）（1/4a）（a²十4ax）^（3/2）]（-a/4,0）
= （π/2）（a²/4十（1/6a）（a³-0））
= （π/2）（a²/4十a²/6）
=πa（2/3）（1/4a）（a²十4ax）^（3/2）（-a/4,0）
=πa³/6
扩展资料
积分性质
1、线性性
积分是线性的。如果一个函数f 可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。
2、保号性
如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，如果两个I上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。
如果黎曼可积的非负函数f在I上的积分等于0，那么除了有限个点以外，f = 0。如果勒贝格可积的非负函数f在I上的积分等于0，那么f几乎处处为0。如果F中元素A的测度μ （A）等于0，那么任何可积函数在A上的积分等于0。
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。
如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对F中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。
参考资料来源：百度百科-积分公式
θ=0，r=2a，θ=π，r=0，关于极轴对称。
1、极轴左边：
V=∫（0,2a）πy²dxx
=rcosθ=a(1+cosθ)cosθ
=a(cosθ+cos²θ)dx
=a(-sinθ-2sinθcosθ)dθy
=rsinθ=a(1+cosθ)sinθ
=a(sinθ+sinθcosθ)，
代入：V=∫（0,2a）πy²dx
=π∫（π/2，0）a²(sinθ+sinθcosθ)²a(-sinθ-2sinθcosθ)dθ
=πa³∫（0，π/2）sin³θ（1+cosθ）²（1+2cosθ）dθ
=-πa³∫（0，π/2）（1-cos²θ）（1+cosθ）²（1+2cosθ）dcosθ
设t=cosθV=-πa³∫（1，0）（1-t²）（1+t）²（1+2t）dt
=πa³∫（0,1）（1-t²）（1+2t+t²）（1+2t）dt
=πa³∫（-1,1）（1-t²）（1+4t+5t²+2t³）dt
=πa³∫（0,1）（1+4t+4t²-2t³-5t^4-2t^5）dt
=πa³[t+2t²-t^4/2-t^5-t^6/3]（0,1）=πa³(1+2-1/2-1-1/3)=πa³(2-5/6)=7πa³/6
2、极轴右边：
r=a（1+cosθ）a＞0
r²=ar+acosθ
=ar+ax
对原式进行两边积分
原式=（π/2）[ax十（2/3）（1/4a）（a²十4ax）^（3/2）]（-a/4,0）
= （π/2）（a²/4十（1/6a）（a³-0））
= （π/2）（a²/4十a²/6）
=πa（2/3）（1/4a）（a²十4ax）^（3/2）（-a/4,0）
=πa³/6
扩展资料：
不定积分公式和种类
1、含有a+bx的积分公式主要有以下几类：
2、含有√（a+bx）的积分公式主要包含有以下几类：
3、公式种类
（1）不定积分
设
是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C.其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
（2）定积分
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。[2] 直观地说，对于一个给定的实函数f（x），在区间[a，b]上的定积分记为：
若f（x）在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线（x，f（x））、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值（一种确定的实数值）。
参考资料来源：百度百科-积分公式
解题过程如下：
V=∫π(rsinθ)^2*rdθ
=π*∫r^3*(sinθ)^2dθ
=πa^3*∫(1+cosθ)^3*(sinθ)^2dθ
=64πa^3*∫(cost)^8*(sint)^2dt
=64πa^3*[∫(cost)^8dt-∫(cost)^10dt]
=32π^2*a^3*7/256
=7π^2*a^3/8
扩展资料
性质：
在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个单位长度，通常规定角度取逆时针方向为正。
平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。
在平面上，取一点O称为极点，从O出发的一射线OX称为‘极轴’。平面上任意一点P的位置，就可以用线段OP的长度γ和OP与OX所夹的角θ来确定。（γ、θ）称为点P的极坐标。
极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果ρ(−θ）= ρ（θ），则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果ρ（π-θ）= ρ（θ），则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果ρ（θ−α）= ρ（θ），则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。
θ=0，r=2a，θ=π，r=0，关于极轴对称。
y轴右边，比较简单：
V=∫（0,2a）πy²dx
x=rcosθ=a(1+cosθ)cosθ=a(cosθ+cos²θ)
dx=a(-sinθ-2sinθcosθ)dθ
y=rsinθ=a(1+cosθ)sinθ=a(sinθ+sinθcosθ)，代入：
V=∫（0,2a）πy²dx
=π∫（π/2，0）a²(sinθ+sinθcosθ)²a(-sinθ-2sinθcosθ)dθ
=πa³∫（0，π/2）sin³θ（1+cosθ）²（1+2cosθ）dθ
=-πa³∫（0，π/2）（1-cos²θ）（1+cosθ）²（1+2cosθ）dcosθ
设t=cosθ
V=-πa³∫（1，0）（1-t²）（1+t）²（1+2t）dt
=πa³∫（0,1）（1-t²）（1+2t+t²）（1+2t）dt
=πa³∫（-1,1）（1-t²）（1+4t+5t²+2t³）dt
=πa³∫（0,1）（1+4t+4t²-2t³-5t^4-2t^5）dt
=πa³[t+2t²-t^4/2-t^5-t^6/3]（0,1）
=πa³(1+2-1/2-1-1/3)
=πa³(2-5/6)
=7πa³/6
扩展资料
不定积分的公式
1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C
10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C
常用特殊角的函数值：
1、sin30°=1/2
2、cos30°=(√3)/2
3、sin45°=(√2)/2
4、cos45°=(√2)/2
5、sin60°=(√3)/2
6、cos60°=1/2
7、sin90°=1
8、cos90°=0
9、tan30°=(√3)/3
10、tan45°=1
11、tan90°不存在
积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
难题。
θ=0，r=2a，θ=π，r=0，关于极轴对称。
y轴右边，比较简单：
V=∫（0,2a）πy²dx
x=rcosθ=a(1+cosθ)cosθ=a(cosθ+cos²θ)
dx=a(-sinθ-2sinθcosθ)dθ
y=rsinθ=a(1+cosθ)sinθ=a(sinθ+sinθcosθ)，代入：
V=∫（0,2a）πy²dx
=π∫（π/2，0）a²(sinθ+sinθcosθ)²a(-sinθ-2sinθcosθ)dθ
=πa³∫（0，π/2）sin³θ（1+cosθ）²（1+2cosθ）dθ
=-πa³∫（0，π/2）（1-cos²θ）（1+cosθ）²（1+2cosθ）dcosθ
设t=cosθ
V=-πa³∫（1，0）（1-t²）（1+t）²（1+2t）dt
=πa³∫（0,1）（1-t²）（1+2t+t²）（1+2t）dt
=πa³∫（-1,1）（1-t²）（1+4t+5t²+2t³）dt
=πa³∫（0,1）（1+4t+4t²-2t³-5t^4-2t^5）dt
=πa³[t+2t²-t^4/2-t^5-t^6/3]（0,1）
=πa³(1+2-1/2-1-1/3)
=πa³(2-5/6)
=7πa³/6
y轴左边，比较难。
